学过线性代数,那第二题,就和矩阵相关。
很快,庞绍安又在稿纸上写下了第二题:
证明:任意n阶实方阵A可以分解为A=A0+A1+A2,其中A0=aIn,a是实数,A1、A2都是幂零方阵。
和第一题一样,庞学林同样没有思考多久,直接在稿纸上写下答案:
证明:我们先证明一个引理。
引理:设A是n阶实方阵且满足tr(A)=0,则存在可逆实方阵P,使得P^-1AP的对角元素都是0。
对n进行归纳,当n=1时,A=(0),结论显然成立,下面设n≥2,我们考虑两种情形。
情形一:Rn中的所有非零向量都是A的特征向量……
……
同样,只用了五分钟时间,庞学林就完成了解题。
这一回,不仅庞绍安惊讶,就连姚建中,也一脸惊叹:“老庞,你家小林了不得啊,这道题,一般的本科生都不一定解得出来!”
“再来!”
庞绍安道。
接下来,第三题,第四题,第五题……
从微积分、微分方程到推导求解线性方程组的共轭梯度,再到群论、微分几何、泛函分析。
难度也开始直线上升,可庞学林解题速度适中没什么变化,无论多么难的题目,到他手中,几乎三下五除二,最多也就花个十来分钟就能搞定。
不知不觉间,一个多小时过去了。
而庞绍安和姚建中,也从一开始的惊讶,赞叹,再到后来震撼,麻木。
“小林,这些内容你都是什么时候开始学的?”
庞绍安看着庞学林,有些不可思议道。
庞学林有些不好意思道:“您书房里不是有很多大学阶段的数学书吗?我两年前就偷偷学了,爷爷,你觉得我现在的水平怎么样,是不是可以不用去上高中了?”
庞绍安道:“也就是说,你花了两年时间,不但自学了本科阶段的数学体系,甚至基本上融会贯通了?”
庞学林点了点头。
庞绍安和姚建中面面相觑,他还能说什么呢?
刚才他出的考题,大部分是本科生数学竞赛的内容,有一些是研究生阶段都比较难的试题,都被庞学林轻松解了出来。
姚建中在一旁竖起了大拇指,说道:“老庞,你家小子真是妖孽,按照他的水平,再去上高中的课程确实没有太大意义了。这样吧,小林,我帮你去江大物理学院说说,你可以直接去物理系旁听,明年初就可以办理春季学期的入学手续!”
庞绍安瞪了他一眼,说道:“老姚,这可是我孙子,你别想着挖墙脚!小林,这样吧,我明天去你们学校和你们老师聊聊,然后我再去找刘廷波,你接下来直接去江大数学系上课!”
庞学林哭笑不得道:“爷爷,可我想学的是材料专业!”
庞绍安瞪着眼道:“这怎么成,以你的数学天赋,
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